Geometrijski objekt, kasnije nazvan "Kleinova boca", prvi je opisao njemački matematičar Felix Klein 1882. godine. Što on predstavlja? Ovaj objekt (ili bolje rečeno, geometrijska ili topološka površina) jednostavno ne može postojati u našem trodimenzionalnom svijetu. Svi modeli koji se prodaju u suvenirnicama imaju izgled koji daje samo nejasnu predodžbu što je Klein boca.
Za veću jasnoću, opisano je na sljedeći način: zamislite bocu s vrlo dugim vratom. Zatim mentalno napravite dvije rupe u njemu: jednu u zidu, a drugu na dnu. Zatim savijte vrat, umetnite ga u rupu u zidu i izvucite kroz rupu na dnu. Rezultirajući objekt bit će projekcija četverodimenzionalnog svemirskog objekta, koji je prava Kleinova boca, u našem trodimenzionalnom prostoru.
Opis Klein boce jezikom matematičkih termina odnformule neće ništa reći laiku. Hoće li takva definicija zadovoljiti mnoge ljude: Kleinova boca je neorijentirana mnogostrukost (ili površina) koja ima niz svojstava. Nakon riječi "svojstva" možete izgraditi dugu seriju koja se sastoji od trigonometrijskih funkcija, brojeva, te grčkih i latinskih slova. Ali to može samo zbuniti nespremnu osobu koja već ima ideju što je projekcija boce u trodimenzionalnom prostoru.
Zanimljivost: naziv "Kleinova boca" ovom je objektu dobio, najvjerojatnije, greškom ili tipografskom pogreškom prevoditelja. Činjenica je da je Klein u svojoj definiciji koristio riječ Fläche, odnosno "površina" na njemačkom. Prilikom "putovanja" iz Njemačke u druge zemlje, ova se riječ preobrazila u sličan pravopis Flasche (boca). Zatim se pojam vratio u zemlju porijekla u novom, izmijenjenom obliku, i ostao zauvijek.
Za mnoge kulturne osobe (prvenstveno pisce znanstvene fantastike) sam izraz "Kleinova boca" pokazao se privlačnim. Njegova uporaba kao atributa, a ponekad i glavnog lika, postala je znak "intelektualne" fikcije. Takva je, primjerice, priča "Posljednji iluzionist", koju je napisao Bruce Eliot. U priči se pomoćnik mađioničara obračunava sa svojim pokroviteljem, koji je radio trikove s četverodimenzionalnom Kleinovom bocom. Iluzionist koji se popeo u bocu ostaje napola uronjen u nju. Prema riječima autora, ova boca se ne može razbiti bez oštećenja sadržaja. Je li to stvarno tako - ne mogu rećinijedan. Barem matematičare, koji bi možda mogli odgovoriti na ovo pitanje, to nije zbunilo, za znanost je to nebitno.
Ponekad se posebno izrađene Klein boce pune vinom u promotivne svrhe. Istina, tehnički je teško napraviti takvu staklenu bocu, za to je potreban stakleni puhač ekstra klase. Stoga ima prilično visoku cijenu i rijetko se koristi. A razvoj tehnologije i proizvodnja takvih boca na potoku nema smisla, jer će za to biti potrebno razraditi način punjenja boce tekućinom (i ovdje postoje poteškoće). A osjećaj neobičnosti i novosti brzo će zamijeniti neugodnost točenja vina iz takve boce u čaše.
